解答例 1

直線 $y=mx$ に関して点 $P=(x,y)$ と対称な点を $Q=(u,v)$ とすると, 直線 $y=mx$ と線分 $PQ$ とは直交する. $m\neq 0$ のとき, 線分 $PQ$ の傾きは $\displaystyle \frac{v-y}{u-x}$ であるから, $$ \frac{v-y}{u-x}\cdot m = -1. $$ よって, \begin{equation} u+mv=x+my. \tag{1} \end{equation} また, 線分 $PQ$ の中点が直線 $y=mx$ の上にあるから, $$ \frac{y+v}{2} = m\cdot \frac{x+u}{2}. $$ よって, \begin{equation} -mu+v=mx-y. \tag{2} \end{equation} (1), (2) から, $$ \begin{pmatrix} 1 & m \\ -m & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & m \\ m & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. $$ $1\cdot 1-m\cdot(-m)=1+m^2\neq 0$ であり, $$ \begin{pmatrix} 1 & m \\ -m & 1 \end{pmatrix}^{-1} =\frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix} 1 & -m \\ m & 1 \end{pmatrix} $$ であるから, \begin{equation*} \begin{split} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & m \\ -m & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 & m \\ m & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix} 1 & -m \\ m & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & m \\ m & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix} 1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. \end{split} \end{equation*} よって, 直線 $y=mx$ に関する対称移動は, 行列 $$ \frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix} 1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1 \end{pmatrix} $$ で表される $1$ 次変換である.

最終更新日：2011年11月02日