解答例 1

(i) 三角関数の加法定理を用いて計算する. \begin{equation*} \begin{split} A(\alpha)A(\beta) &= \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta & -\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta \\ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta & -\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{pmatrix} \\ &= A(\alpha+\beta). \end{split} \end{equation*}

(ii) (i) より, $A(\alpha)A(-\alpha)=A(\alpha-\alpha)=A(0)$. また, $$ A(0)=\begin{pmatrix} \cos 0 & \sin 0 \\ -\sin 0 & \cos 0 \end{pmatrix} =E\quad(\mbox{$E$ は単位行列}). $$ よって, $A(\alpha)A(-\alpha)=E$. ゆえに, $A(\alpha)^{-1}=A(-\alpha)$.

解答例 2

(ii) $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$, $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$, $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$ より, \begin{equation*} \begin{split} A(\alpha)^{-1} &=\frac{1}{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha} \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos(-\alpha) & -\sin(-\alpha) \\ \sin(-\alpha) & \cos(-\alpha) \end{pmatrix} \\ &=A(-\alpha). \end{split} \end{equation*}

最終更新日：2011年11月02日