解答例 1

任意の $2$ 次正方行列 $X$ に対して $AX=XA$ が成り立つとする. とくに, $X=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ とすると, \begin{equation*} \begin{split} AX &= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix}, \\ XA &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{split} \end{equation*} $AX=XA$ であるから, $$ \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\mbox{ゆえに}\quad b=c=0. $$ また, $X=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ とすると, \begin{equation*} \begin{split} AX &= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} b & 0 \\ d & 0 \end{pmatrix}, \\ XA &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ a & b \end{pmatrix}. \end{split} \end{equation*} $AX=XA$ であるから, $$ \begin{pmatrix} b & 0 \\ d & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ a & b \end{pmatrix} \quad\mbox{ゆえに}\quad a=d,\,b=0. $$ したがって, $a=d$, $b=c=0$. よって, $A=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} = aE$.

逆に, $A=aE$ が成り立つとすれば, 任意の $2$ 次正方行列 $X$ に対して \begin{equation*} \begin{split} &AX=(aE)X=a(EX)=aX, \\ &XA=X(aE)=a(XE)=aX. \end{split} \end{equation*} ゆえに, $AX=XA$ が成り立つ.

最終更新日：2011年11月02日