実行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ について, $A\neq O$, $A^2=O$ であるとする.
(i) $ad-bc=0$ であることを証明せよ.
(ii) $a+d=0$ であることを証明せよ.
解答例 1
(i) 背理法で証明する. $ad-bc\neq 0$ と仮定すると, 逆行列 $A^{-1}$ が存在する. $A^2=O$ の両辺に $A^{-1}$ を乗じると $A=O$ が得られるが, これは $A\neq O$ に矛盾する. したがって, $ad-bc=0$ でなければならない.
(ii) ハミルトン・ケーリーの定理より, $$ A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O. $$ (i) より $ad-bc=0$. これと $A^2=O$ より $$ -(a+d)A=O. $$ $A\neq O$ であるから, $a+d=0$.
最終更新日：2011年11月02日