解答例 1

$\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$ が $\begin{pmatrix} a & b \\ c & a \end{pmatrix}$ と 可換であるとすると, $$ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}. $$ 計算すると, $$ \begin{pmatrix} ax+bz & ay+bw \\ cx+az & cy+aw \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax+cy & bx+ay \\ az+cw & bz+aw \end{pmatrix}. $$ これより, \begin{equation} bz=cy,\quad bw=bx, \quad cx=cw. \tag{1} \end{equation} $b\neq 0$ または $c\neq 0$ のとき, (1) を $x$, $y$, $z$, $w$ について解くと, $s$, $t$ を任意の実数として, $$ x=w=s,\quad y=bt,\quad z=ct $$ となる.

したがって, 求める行列は, $s$, $t$ を任意の実数として, $$ \begin{pmatrix} s & bt \\ ct & s \end{pmatrix}. $$

最終更新日：2011年11月02日