Keywords: Hamilton-Cayley の定理, ハミルトン・ケイリーの定理
行列 $\displaystyle A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して, 等式 $$ A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O $$ が成り立つことを確かめよ.
解答例 1
\begin{equation*} \begin{split} A^2&=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a^2+bc & (a+d)b \\ (a+d)c & bc+d^2 \end{pmatrix}, \\ (a+d)A-(ad-bc)E &= \begin{pmatrix} (a+d)a & (a+d)b \\ (a+d)c & (a+d)d \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (a+d)a-(ad-bc) & (a+d)b \\ (a+d)c & (a+d)d-(ad-bc) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a^2+bc & (a+d)b \\ (a+d)c & bc+d^2 \end{pmatrix}. \end{split} \end{equation*} ゆえに, $A^2=(a+d)A-(ad-bc)E$. したがって, 等式が成り立つ.
最終更新日：2011年11月02日