解答例 1

$\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$ が $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ と 可換であるとすると, $$ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}. $$ 計算すると, $$ \begin{pmatrix} ax+bz & ay+bw \\ cx+dz & cy+dw \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax+cy & bx+dy \\ az+cw & bz+dw \end{pmatrix}. $$ これより, \begin{equation} bz=cy,\quad (a-d)y=b(x-w), \quad c(x-w)=(a-d)z. \tag{1} \end{equation} (1) を解くと, $a\neq d$ であるから, $s$, $t$ を任意の実数として, $$ x=s,\quad y=\frac{b(s-t)}{a-d},\quad z=\frac{c(s-t)}{a-d},\quad w=t $$ となる.

したがって, 求める行列は, $s$, $t$ を任意の実数として, $$ \begin{pmatrix} s & \displaystyle\frac{b}{a-d}(s-t) \\ \displaystyle\frac{c}{a-d}(s-t) & t \end{pmatrix}. $$

最終更新日：2011年11月02日