[q201107031700]  $\mathbb{R}$ 上の関数 $f(x)$ を $$ f(x) = \begin{cases} \displaystyle e^{-1/x}, & \mbox{$x>0$} \\ 0, & \mbox{$x\leq 0$} \end{cases} $$ によって定める. このとき, $f(x)$ は $x=0$ で解析的ではないことを証明せよ.

Description: 無限回微分可能であっても解析的ではない例. $C^{\infty}$ 級関数であっても解析関数ではない例.

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[q201108270800]  実変数 $t$ と $n$ 次正方行列 $A$ に対し, $n$ 次正方行列 $$ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!}A^k = E + \frac{t}{1!}A + \frac{t^2}{2!}A^2 + \frac{t^3}{3!}A^3 + \cdots $$ を考える. この行列の各成分は, $t$ の冪級数として収束半径が $\infty$ であることを証明せよ.

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[q201109041200]  実数列 $(a_n)$ を $$ a_n = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} - \log n\quad (n=1, 2, \ldots) $$ によって定める. このとき, $(a_n)$ は収束することを証明せよ.

Keywords: Euler の定数, オイラーの定数

Description: 極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} - \log n\right)$ を Euler の定数という.

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[q201106251045]  区間 $I$ 上の連続関数列 $(f_n(x))$ が一様収束するならば, その極限関数 $f(x)$ は $I$ で連続である. このことを証明せよ.

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[q201109092100]  関数列 $(x^n)$ は 閉区間 $[0, 1]$ で一様収束しないことを証明せよ.

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