[q201110090900]  関数列 $(f_n(s))$ を $f_n(s) = 1/n^{s}$ とおくことによって定める. このとき, 任意の実数 $\delta>0$ に対して, 関数項級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n(s)$ は 区間 $[1+\delta, \infty)$ 上で一様収束することを証明せよ.

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[q201110091100]  Riemann のゼータ関数 $$ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\quad (s>1) $$ は区間 $(1, \infty)$ で微分可能であり, $$ \frac{d}{ds}\zeta(s) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log{n}}{n^s} $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201106282330]  $(\lambda, \mu)$ を $\mathbb{R}^2$ の単位ベクトルとするとき, 実数値関数 $f(x, y)$ が 点 $(a, b)\in\mathbb{R}^2$ で $(\lambda, \mu)$ 方向に微分可能であることの定義を述べよ.

Keywords: 方向微分可能, 方向微分係数

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[q201106282345]  実数値関数 $f(x, y)$ が点 $(a, b)\in\mathbb{R}^2$ で全微分可能であることの定義を述べよ.

Keywords: 全微分可能

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[q201106231145]  $\mathbb{R}^2$ 上の関数 $f(x, y)$ を $$ f(x, y) = \begin{cases} \displaystyle \frac{xy}{x^2+y^2}, & \mbox{$(x, y)\neq (0, 0)$} \\ 0, & \mbox{$(x, y) = (0, 0)$} \end{cases} $$ によって定める. 以下を証明せよ.

(i) $f(x, y)$ は $(x, y)=(0, 0)$ で $x$ および $y$ について偏微分可能である.

(ii) $f(x, y)$ は $(x, y)=(0, 0)$ で連続ではない.

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