解答例 1

$\log(1-x)$ の $\lvert x\rvert <1$ での Taylor 展開は $$ \log(1-x) = -\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k} $$ であるから, 各 $n=1$, $2$, $\ldots$ に対して, \begin{align*} a_{n+1}-a_n &= \frac{1}{n+1} - \log(n+1) + \log n \\ &= \frac{1}{n+1} + \log\left(\frac{n}{n+1}\right) \\ &= \frac{1}{n+1} + \log\left(1-\frac{1}{n+1}\right) \\ &= \frac{1}{n+1} - \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(n+1)^k} \\ &= - \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k(n+1)^k} < 0. \end{align*} よって, $(a_n)$ は(狭義の)単調減少である.

また, 各 $n=1$, $2$, $\ldots$ に対して, \begin{align*} \log n &= \int_1^n\frac{1}{x}\,dx = \sum_{k=1}^{n-1}\int_k^{k+1}\frac{1}{x}\,dx \\ &\leq\sum_{k=1}^{n-1}\int_k^{k+1}\frac{1}{k}\,dx = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k} < \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \end{align*} であるから, $a_n>0$. ゆえに, $(a_n)$ は下に有界である.

以上より, $(a_n)$ は下に有界な単調減少数列であるから, 収束する.

最終更新日：2011年11月02日