解答例 1

$A^k=(a_{ij}^{(k)})$ ($k=0$, $1$, $2$, $\ldots$) とおくと, $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!}A^k$ の $(i, j)$-成分は $$ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{ij}^{(k)}}{k!}t^k = \delta_{ij} + \frac{a_{ij}^{(1)}}{1!}t + \frac{a_{ij}^{(2)}}{2!}t^2 + \frac{a_{ij}^{(3)}}{3!}t^3 + \cdots $$ である. ここで, $\delta_{ij}$ は Kronecker のデルタである.

さて, $\displaystyle \mu = \max_{i,j}\lvert a_{ij}^{(1)}\rvert$ とおくとき, 全ての $k=1$, $2$, $\ldots$ に対して \begin{equation} \lvert a_{ij}^{(k)}\rvert\leq (n\mu)^k \tag{1} \end{equation} が成り立つことを, $k$ に関する数学的帰納法により証明する.

$k=1$ のとき, $$ \lvert a_{ij}^{(1)}\rvert\leq\mu\leq n\mu. $$ $k-1$ のとき (1) が成り立つと仮定すれば, $A^k = A^{k-1}A$ より, \begin{align*} \lvert a_{ij}^{(k)}\rvert &= \left\lvert \sum_{\ell=1}^na_{i\ell}^{(k-1)}a_{\ell j} \right\rvert \leq \sum_{\ell=1}^n\lvert a_{i\ell}^{(k-1)} \rvert\cdot\lvert a_{\ell j}\rvert \\ &\leq \sum_{\ell=1}^n(n\mu)^{k-1}\mu = n(n\mu)^{k-1}\mu = (n\mu)^k. \end{align*} よって, $k$ のときも (1) が成り立つ.

したがって, 各 $(i, j)$-成分について, 任意の $t_0\in\mathbb{R}$ に対して, $$ \frac{\lvert a_{ij}^{(k)}\rvert}{k!}\lvert t_0\rvert^k \leq \frac{(n\mu)^k}{k!}\lvert t_0\rvert^k \quad (k=1, 2, \ldots) $$ であり, $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(n\mu)^k}{k!}\lvert t_0\rvert^k = e^{n\mu\lvert t_0\rvert}$ であるから, $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{ij}^{(k)}}{k!}t_0^k$ は絶対収束する. したがって, $t$ の冪級数 $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{ij}^{(k)}}{k!}t^k$ の収束半径は $\infty$ である.

最終更新日：2011年11月02日