解答例 1

$(x^n)$ の $[0, 1]$ での極限関数 $f(x)$ は, $$ f(x) = \lim_{n\to\infty}x^n = \begin{cases} 0, & 0\leq x<1 \\ 1, & x = 1 \end{cases} $$ である. $$ \lim_{x\to 1-0}f(x)=0\neq 1 = f(1) $$ であるから, $f(x)$ は $x=1$ で連続ではない. したがって, $(x^n)$ は $[0, 1]$ で一様収束しない.

最終更新日：2011年11月02日