[q201106252100]  $a$ を $0$ でない実数とする. 負でない整数 $n$ に対して, $$ I_n = \int x^ne^{ax} \,dx $$ とおく. $n\geq 1$ のとき, $$ I_n = \frac{1}{a}(x^ne^{ax}-nI_{n-1}) $$ が成り立つことを示せ.

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[q201106252115]  負でない整数 $n$ に対して, $$ I_n = \int \log^n x\,dx $$ とおく. $n\geq 1$ のとき, $$ I_n = x\log^nx-nI_{n-1} $$ が成り立つことを示せ. ただし, $\log^0x=1$ である.

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[q201106252130]  $a$ を $0$ でない実数とする. 正の整数 $n$ に対して, $$ I_n = \int\frac{dx}{(x^2+a)^n} \,dx $$ とおく. $n\geq 2$ のとき, $$ I_n = \frac{1}{2(n-1)a} \biggl( \frac{x}{(x^2+a)^{n-1}}+(2n-3)I_{n-1} \biggr) $$ が成り立つことを示せ.

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[q201106252145]  負でない整数 $n$ に対して, $$ I_n = \int \sin^n x\,dx $$ とおく. $n\geq 2$ のとき, $$ I_n = \frac{1}{n}\bigl(-\cos x\cdot\sin^{n-1}x+(n-1)I_{n-2}\bigr) $$ が成り立つことを示せ. ただし, $\sin^0x=1$ である.

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[q201106252200]  負でない整数 $n$ に対して, $$ I_n = \int \cos^n x\,dx $$ とおく. $n\geq 2$ のとき, $$ I_n = \frac{1}{n}\bigl(\sin x\cdot\cos^{n-1}x+(n-1)I_{n-2}\bigr) $$ が成り立つことを示せ. ただし, $\cos^0x=1$ である.

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