解答例 1

$f(x)$ は $x=0$ で無限回微分可能であり, $f^{(k)}(0) = 0$ ($k=1, 2, \ldots$) が成り立つ.

もし仮に $f(x)$ が解析関数だとすると, $x=0$ のある近傍で $x=0$ を中心に Taylor 展開できる. すなわち, ある実数 $\delta>0$ が存在して, 任意の $x\in (-\delta, \delta)$ に対して, \begin{align*} f(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = \lim_{n\to\infty}\left( \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k \right) \\ &= \lim_{n\to\infty}\left( \sum_{k=0}^{n}0\cdot x^k \right) = \lim_{n\to\infty} 0 = 0. \end{align*} ところが, $x_0=\delta/2$ とおくと, $f(x_0)>0$ かつ $x_0\in (-\delta, \delta)$. これは矛盾である.

最終更新日：2011年11月02日