解答例 1

各 $a\in I$ において $f(x)$ が連続であることをいえばよい.

実数 $\varepsilon>0$ を任意にとる. $(f_n(x))$ が $I$上で $f(x)$ に一様収束することから, ある番号 $N$ が存在して, $n\geq N$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, $$ \lvert f_n(x) - f(x)\rvert < \frac{\varepsilon}{3}\quad (\forall x\in I) $$ が成り立つ. また, 仮定より $f_N(x)$ は $x=a$ で連続だから, ある実数 $\delta>0$ が存在して, 任意の $x\in I$ に対して, $$ \lvert x-a\rvert < \delta \Longrightarrow \lvert f_N(x)-f_N(a)\rvert < \frac{\varepsilon}{3} $$ が成り立つ. ゆえに, $\lvert x-a\rvert < \delta$ を満たす任意の $x\in I$ に対して, \begin{align*} \lvert f(x) - f(a) \rvert &\leq \lvert f(x) - f_N(x)\rvert + \lvert f_N(x)-f_N(a)\rvert + \lvert f_N(a)-f(a)\rvert \\ &< \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon. \end{align*} したがって, $f(x)$ は $x=a$ で連続である.

最終更新日：2011年11月02日