[q201106260115]  $f(x)$, $g(x)$ を閉区間 $[a,b]$ 上の連続関数とする. このとき, 不等式 \begin{equation} \biggl( \int_a^bf(x)g(x)\,dx \biggr)^2 \leq \biggl(\int_a^bf(x)^2\,dx \biggr)\biggl(\int_a^bg(x)^2\,dx \biggr) \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

Keywords: Schwarz の不等式, シュワルツの不等式

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[q201107011845]  $f(x)$, $g(x)$ を閉区間 $[a, b]$ 上の連続関数とする. $p$, $q$ を正の実数とし, \begin{equation} \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \tag{$*$} \end{equation} を満たすとする. このとき, 不等式 \begin{equation} \int_a^b\lvert f(x)g(x)\rvert\,dx \leq \left(\int_a^b\lvert f(x)\rvert^p\,dx\right)^{\frac{1}{p}} \left(\int_a^b\lvert g(x)\rvert^q\,dx\right)^{\frac{1}{q}} \tag{$*$$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

Keywords: Hölder の不等式, ヘルダーの不等式

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[q201107012230]  $f(x)$, $g(x)$ を閉区間 $[a, b]$ 上の連続関数とする. このとき, 任意の実数 $p\geq 1$ に対して, 不等式 \begin{equation} \left(\int_a^b\lvert f(x)+g(x) \rvert^p\,dx\right)^{\frac{1}{p}} \leq \left(\int_a^b\lvert f(x)\rvert^p\,dx\right)^{\frac{1}{p}} + \left(\int_a^b\lvert g(x)\rvert^p\,dx\right)^{\frac{1}{p}} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

Keywords: Minkowski の不等式, ミンコフスキーの不等式

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[q201108231700]  $f(x)$ は閉区間 $[a, b]$ で連続であるとし, 任意の $x\in [a, b]$ に対して $f(x)\neq 0$ であるとする. このとき, \begin{equation} (b-a)^2 \leq \left(\int_a^b f(x)\,dx \right)\left(\int_a^b \frac{1}{f(x)}\,dx \right) \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

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[q201108181200]  $f(x)$ を閉区間 $[a, b]$ (ただし $a<b$ とする) で連続な実数値関数とするとき, \begin{equation} \lim_{n\to\infty}\left(\int_{a}^{b}\lvert f(x)\rvert^n\,dx \right)^{\frac{1}{n}} = \max_{x\in [a, b]}\lvert f(x)\rvert \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

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