解答例 1

$f(x)$ または $g(x)$ が恒等的に $0$ のとき, ($*$$*$) において等号が成り立つ. 以下, $f(x)$, $g(x)$ は両方とも恒等的には $0$ でないとする.

正の実数 $p$, $q$ が ($*$) を満たすとき, 任意の実数 $A\geq 0$, $B\geq 0$ に対して, 不等式 \begin{equation} AB \leq \frac{A^p}{p} + \frac{B^q}{q} \tag{1} \end{equation} が成り立つことを用いる. $$ r = \int_a^b\lvert f(x)g(x)\rvert\,dx, \quad s = \left(\int_a^b\lvert f(x)\rvert^p\,dx\right)^{\frac{1}{p}}, \quad t = \left(\int_a^b\lvert g(x)\rvert^q\,dx\right)^{\frac{1}{q}} $$ とおく. $f(x)$, $g(x)$ は恒等的には $0$ でないとしたから, $s>0$, $t>0$ である.

$A=\lvert f(x)\rvert/s$, $B=\lvert g(x)\rvert/t$ とおき, 不等式 (1) に代入すると, \begin{equation} \frac{\lvert f(x)g(x)\rvert}{st} \leq \frac{\lvert f(x)\rvert^p}{ps^p} + \frac{\lvert g(x)\rvert^q}{qt^q}. \tag{2} \end{equation} 両辺を $a$ から $b$ まで積分すると, \begin{equation} \frac{r}{st} \leq \frac{s^p}{ps^p}+\frac{t^q}{qt^q} = \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1. \tag{3} \end{equation} これより, $r\leq st$. よって, ($*$$*$) が得られる.

(1) の等号成立条件は $B=A^{p-1}$ である. ($*$$*$) において等号が成立するとき, すなわち $r=st$ が成り立つとき, $k=t/s^{p-1}$ とおくと, $k>0$ であり, 任意の $x\in [a, b]$ に対して \begin{equation} \lvert g(x)\rvert = k\cdot\lvert f(x)\rvert^{p-1}. \tag{4} \end{equation} 実際, もし仮にある $x\in [a, b]$ が存在して (2) で等号が成り立たないとすれば, (3) でも等号が成り立たないので, $r<st$ となる.

逆に, ある実数 $k>0$ が存在して, 任意の $x\in [a, b]$ に対して (4) が成り立てば, ($*$) より $1/q = 1-1/p$, $(p-1)q = p$ であるから, \begin{align*} r &= k\int_a^b\lvert f(x)\rvert^p\,dx \\ &= k\left(\int_a^b \lvert f(x)\rvert^p\,dx\right)^{\frac{1}{p}} \left(\int_a^b \lvert f(x)\rvert^p\,dx\right)^{1-\frac{1}{p}} \\ &= \left(\int_a^b \lvert f(x)\rvert^p\,dx\right)^{\frac{1}{p}} \left(\int_a^b k^q\cdot\lvert f(x)\rvert^{(p-1)q}\,dx\right)^{\frac{1}{q}} \\ &= st. \end{align*} ゆえに, ($*$$*$) において等号が成立する.

したがって, ($*$$*$) において等号が成立するための必要十分条件は, 次のいずれかが成り立つことである.

• $f(x)$ が恒等的に $0$ である.
• $g(x)$ が恒等的に $0$ である.
• ある実数 $k>0$ が存在して, 任意の $x\in [a, b]$ に対して $\lvert g(x)\rvert = k\cdot\lvert f(x)\rvert^{p-1}$ が成り立つ.

最終更新日：2011年11月02日