[q201109071000]  $f(x)$ を $[0, 1]$ 上の連続関数とするとき, $$ \int_{0}^{\pi}xf(\sin x)\,dx = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)\,dx $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201106260045]  整数 $n\geq 0$ に対し, $$ I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^nx \,dx $$ とおく. ただし, $\sin^0x=1$ とする. このとき, \begin{equation} I_n = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6} \cdot\cdots\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{\pi}{2}, & \mbox{$n$が偶数のとき} \\ \displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{7} \cdot\cdots\cdot\frac{n-1}{n}, &\mbox{$n$が奇数のとき} \end{cases} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

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[q201109071100]  $m$, $n$ を正の整数とするとき, $$ \int_{-\pi}^{\pi}\cos{mx}\cos{nx}\,dx = \begin{cases} 0, & m\neq n \\ \pi, & m=n \end{cases} $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201109071200]  $m$, $n$ を正の整数とするとき, $$ \int_{-\pi}^{\pi}\sin{mx}\sin{nx}\,dx = \begin{cases} 0, & m\neq n \\ \pi, & m=n \end{cases} $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201109071300]  $m$, $n$ を正の整数とするとき, $$ \int_{-\pi}^{\pi}\sin{mx}\cos{nx}\,dx = 0 $$ が成り立つことを証明せよ.

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