[q201106231730]  $\mathbb{R}$ 上の関数 $f(x)$ を $$ f(x) = \begin{cases} \displaystyle e^{-1/x}, & \mbox{$x>0$} \\ 0, & \mbox{$x\leq 0$} \end{cases} $$ によって定める. このとき, $f(x)$ は $x=0$ で無限回微分可能であることを証明せよ.

Description: 無限回微分可能であっても解析的ではない例. $C^{\infty}$ 級関数であっても解析関数ではない例.

---

[q201108262100]  $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ ($a\neq 0$) とするとき, 曲線 $y=f(x)$ のグラフは, その変曲点に関して対称であることを証明せよ.

---

[q201107121300]  任意の整数 $n\geq 1$ と実数 $x\geq 0$ に対して, 不等式 $$ \frac{x^n}{n!} < e^x $$ が成り立つことを証明せよ.

---

[q201109180800]  $I$ を $\mathbb{R}$ の区間とし, $f(x)$ を $I$ で定義された実数値関数とする. このとき, $f(x)$ が $I$ で凸関数であることの定義を述べよ.

---

[q201109180900]  $I$ を $\mathbb{R}$ の区間とし, $f(x)$ を $I$ 上の狭義凸関数とする. $x_i\in I$, $p_i>0$ ($i=1$, $2$, $\ldots$, $n$) かつ $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}p_i=1$ ならば, \begin{equation} f\left( \sum_{i=1}^{n}p_ix_i \right) \leq \sum_{i=1}^{n}p_if(x_i) \tag{$*$} \end{equation} が成り立つ. このことを証明せよ.

---