解答例 1

$\displaystyle p=\int_a^bf(x)^2\,dx$, $\displaystyle q=\int_a^bf(x)g(x)\,dx$, $\displaystyle r=\int_a^bg(x)^2\,dx$ とおく.

$p=0$ のとき, $f(x)^2\geq 0$ より $f(x)^2=0$. したがって $f(x)=0$ であるから, $q=0$. よって $q^2=pr=0$ となり, 不等式 ($*$) が成立する.

$p\neq 0$ のとき, 任意の実数 $t$ に対して, \begin{align} pt^2+2qt+r &= t^2\int_a^b f(x)^2\,dx + 2t \biggl( \int_a^b f(x)g(x)\,dx \biggr)^2 + \int_a^b g(x)^2\,dx \notag \\ &= \int_a^b(t^2f(x)^2+2tf(x)g(x)+g(x)^2)\,dx \notag \\ &= \int_a^b(tf(x)+g(x))^2\,dx. \tag{1} \end{align} $(tf(x)+g(x))^2\geq 0$ だから, $\displaystyle \int_a^b(tf(x)+g(x))^2\,dx\geq 0$. ゆえに, $pt^2+2qt+r\geq 0$. よって, $2$ 次方程式 \begin{equation} pX^2+2qX+r=0 \tag{2} \end{equation} の判別式を $D$ とすると, \begin{equation} q^2-pr = \frac{D}{4} \leq 0. \tag{3} \end{equation} したがって, 不等式 ($*$) が成立する.

次に, 不等式 ($*$) における等号成立条件について考える.

$f(x)=0$ のとき, $p=q=0$ であるから, $q^2=pr=0$ となる. $g(x)=0$ のとき, $q=r=0$ であるから, $q^2=pr=0$ となる. 以下, それ以外のときを考える. そのとき, $p\neq 0$ かつ $r\neq 0$ である. $q^2=pr$ とすると, (3) より $D=0$ なので, $2$ 次方程式 (2) は重解 $\alpha$ をもつ. $r\neq 0$ より $\alpha\neq 0$ である. また, (1) より $$ \int_a^b(\alpha f(x)+g(x))^2\,dx = p\alpha^2+2q\alpha+r=0. $$ よって, $$ (\alpha f(x)+g(x))^2 = 0. $$ ゆえに, \begin{equation} \alpha f(x)+g(x)=0. \tag{4} \end{equation} 逆に, ある実数 $\alpha\neq 0$ が存在して (4) が成り立てば, ($*$) において等号が成り立つ.

したがって, 不等式 ($*$) において等号が成立するための必要十分条件は, 次のいずれかが成り立つことである.

• $f(x)=0$ のとき.
• $g(x)=0$ のとき.
• ある実数 $\alpha\neq 0$ が存在して $\alpha f(x)+g(x)=0$ となるとき.

最終更新日：2011年11月02日