解答例 1

$p=1$ のとき, 三角不等式 $$ \lvert f(x)+g(x)\rvert \leq \lvert f(x)\rvert + \lvert g(x)\rvert $$ の両辺を $a$ から $b$ まで積分すれば, ($*$) が得られる.

$p>1$ のとき, \begin{align*} &\int_a^b\lvert f(x)+g(x) \rvert^p\,dx \\ &\qquad \leq \int_a^b(\lvert f(x)\rvert + \lvert g(x)\rvert)\cdot\lvert f(x)+g(x) \rvert^{p-1}\,dx \\ &\qquad = \int_a^b \lvert f(x)\rvert\cdot\lvert f(x)+g(x) \rvert^{p-1}\,dx \\ &\qquad\qquad +\int_a^b \lvert g(x)\rvert\cdot\lvert f(x)+g(x) \rvert^{p-1}\,dx. \end{align*} $q=p/(p-1)$ とおくと, $1/p+1/q=1$ であるから, Hölder の不等式が適用できて, \begin{align*} & \int_a^b \lvert f(x)\rvert\cdot\lvert f(x)+g(x) \rvert^{p-1}\,dx \\ & \qquad \leq \left(\int_a^b\lvert f(x)\rvert^p\,dx\right)^{\frac{1}{p}} \left(\int_a^b \lvert f(x)+g(x) \rvert^p\,dx\right)^{\frac{1}{q}}. \end{align*} 同様に, \begin{align*} & \int_a^b \lvert g(x)\rvert\cdot\lvert f(x)+g(x) \rvert^{p-1}\,dx \\ & \qquad \leq \left(\int_a^b\lvert g(x)\rvert^p\,dx\right)^{\frac{1}{p}} \left(\int_a^b \lvert f(x)+g(x) \rvert^p\,dx\right)^{\frac{1}{q}}. \end{align*} ゆえに, \begin{align*} &\int_a^b\lvert f(x)+g(x) \rvert^p\,dx \\ &\qquad \leq \left(\left(\int_a^b\lvert f(x)\rvert^p\,dx\right)^{\frac{1}{p}} + \left(\int_a^b\lvert g(x)\rvert^p\,dx\right)^{\frac{1}{p}}\right) \\ &\qquad\qquad\times\left(\int_a^b \lvert f(x)+g(x) \rvert^p\,dx\right)^{\frac{1}{q}}. \end{align*} $\displaystyle \int_a^b\lvert f(x)+g(x) \rvert^p\,dx\neq 0$ のとき, 両辺を $\displaystyle \left(\int_a^b \lvert f(x)+g(x) \rvert^p\,dx\right)^{\frac{1}{q}}$ で割れば ($*$) が得られる. $\displaystyle \int_a^b\lvert f(x)+g(x) \rvert^p\,dx = 0$ のとき, ($*$) が明らかに成立する.

最終更新日：2011年11月02日