解答例 1

$\lvert f(x)\rvert$ は閉区間 $[a, b]$ で連続だから, $\displaystyle\max_{x\in [a, b]}\lvert f(x)\rvert$ は存在する. これを $M$ とおく. $M=0$ のとき, $f(x)$ は恒等的に $0$ なので, ($*$) の両辺はともに $0$ である. したがって, ($*$) が成り立つ. 以下, $M>0$ と仮定する.

$M = \lvert f(c)\rvert$, $c\in [a, b]$ とする. $a<c<b$ の場合のみ証明するが, $c=a$ または $c=b$ の場合にも, $c$ の $\delta$-近傍の取り方を $[a, a+\delta)$ または $(b-\delta, b]$ に修正すれば, 同様に議論を進めることができる.

実数 $\varepsilon_1$ で $0<\varepsilon_1<M$ を満たすものを任意にとると, $$ 0 < M - \varepsilon_1 < M = \lvert f(c)\rvert. $$ $\lvert f(x)\rvert$ は $x=c$ で連続だから, ある実数 $\delta>0$ が存在して, 任意の $x\in (c-\delta, c+\delta)$ に対して, $$ 0 < M - \varepsilon_1 < \lvert f(x)\rvert. $$ よって, \begin{align*} \left(\int_{a}^{b}\lvert f(x)\rvert^n\,dx \right)^{\frac{1}{n}} &\geq \left(\int_{c-\delta}^{c+\delta}\lvert f(x)\rvert^n\,dx \right)^{\frac{1}{n}} \\ &\geq \left(\int_{c-\delta}^{c+\delta}(M-\varepsilon_1)^n\,dx \right)^{\frac{1}{n}} \\ &= (M-\varepsilon_1)(2\delta)^{\frac{1}{n}}. \end{align*} $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(2\delta)^{\frac{1}{n}}=1$であるから, ある番号 $N_1$ が存在して, $n\geq N_1$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, $$ 1 - \varepsilon_1 < (2\delta)^{\frac{1}{n}} $$ となる. ゆえに, $n\geq N_1$ のとき, \begin{equation} \left(\int_{a}^{b}\lvert f(x)\rvert^n\,dx \right)^{\frac{1}{n}} > (M-\varepsilon_1)(1-\varepsilon_1). \tag{1} \end{equation} 一方, $$ \left(\int_{a}^{b}\lvert f(x)\rvert^n\,dx \right)^{\frac{1}{n}} \leq \left(\int_{a}^{b}M^n\,dx \right)^{\frac{1}{n}} = M(b-a)^{\frac{1}{n}}. $$ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(b-a)^{\frac{1}{n}}=1$ であるから, ある番号 $N_2$ が存在して, $n\geq N_2$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, $$ (b-a)^{\frac{1}{n}} < 1+\varepsilon_1. $$ ゆえに, $n\geq N_2$ のとき, \begin{equation} \lim_{n\to\infty}\left(\int_{a}^{b}\lvert f(x)\rvert^n\,dx \right)^{\frac{1}{n}} < M+\varepsilon_1. \tag{2} \end{equation} $N=\max\{N_1, N_2\}$ とおけば, (1), (2) より, $n\geq N$ のとき, $$ (M-\varepsilon_1)(1-\varepsilon_1) < \left(\int_{a}^{b}\lvert f(x)\rvert^n\,dx \right)^{\frac{1}{n}} < M+\varepsilon_1. $$ そこで, 最初に実数 $\varepsilon > 0$ を任意にとり, \begin{align*} & M-\varepsilon < (M-\varepsilon_1)(1-\varepsilon_1), \tag{3} \\ & M(1+\varepsilon_1)<M+\varepsilon, \tag{4} \\ & \varepsilon_1 < M \tag{5} \end{align*} を満たす十分小さい実数 $\varepsilon_1>0$ をとれば, $n\geq N$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, $$ M-\varepsilon < \left(\int_{a}^{b}\lvert f(x)\rvert^n\,dx \right)^{\frac{1}{n}} < M + \varepsilon. $$ すなわち, $$ \left\lvert \left(\int_{a}^{b}\lvert f(x)\rvert^n\,dx \right)^{\frac{1}{n}} - M \right\rvert < \varepsilon. $$ したがって, ($*$) が成り立つ.

最後に, \begin{alignat*}{2} &(M-\varepsilon_1)(1-\varepsilon_1) \to M & \quad & (\varepsilon_1\to +0), \\ &M+\varepsilon_1 \to M & & (\varepsilon_1\to +0) \end{alignat*} であるから, (3), (4), (5) を満たす $\varepsilon_1>0$ は必ず存在する.

最終更新日：2011年11月02日