[q201106252215]  負でない整数 $n$ に対して $$ I_n = \int \tan^n x\,dx $$ とおく. $n\geq 2$ のとき $$ I_n = \frac{\tan^{n-1}x}{n-1}-I_{n-2} $$ が成り立つことを示せ. ただし, $\tan^0x=1$ である.

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[q201106252230]  負でない整数 $m$, $n$ に対して, $$ I_{m,n} = \int \sin^m x\cdot\cos^n x\,dx $$ とおく. ただし, $\sin^0x=\cos^0x=1$ である.

(i) $n\geq 2$ のとき, 次の等式を示せ.

(a) $\displaystyle I_{m,n}=\frac{\sin^{m+1} x\cdot\cos^{n-1} x}{m+1} +\frac{n-1}{m+1}I_{m+2,n-2}$.

(b) $I_{m+2,n-2} = I_{m,n-2} - I_{m,n}$.

(c) $\displaystyle I_{m,n}=\frac{\sin^{m+1} x\cdot\cos^{n-1} x}{m+n} +\frac{n-1}{m+n}I_{m,n-2}$.

(ii) $m\geq 2$ のとき, 次の等式を示せ.

(a) $\displaystyle I_{m,n}=-\frac{\sin^{m-1} x\cdot\cos^{n+1} x}{n+1} +\frac{m-1}{n+1}I_{m-2,n+2}$.

(b) $I_{m-2,n+2} = I_{m-2,n} - I_{m,n}$.

(c) $\displaystyle I_{m,n}=-\frac{\sin^{m-1} x\cdot\cos^{n+1} x}{m+n} +\frac{m-1}{m+n}I_{m-2,n}$.

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[q201106252245]  次の関数の不定積分を求めよ.

(i) $e^x\sin x$.

(ii) $e^x\cos x$.

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[q201106252300]  $a$, $b$ を実数とし, $a\neq 0$ とするとき, 次の関数の不定積分を求めよ.

(i) $e^{ax}\sin bx$.

(ii) $e^{ax}\cos bx$.

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[q201106252315]  次の関数の不定積分を求めよ.

(i) $\sin(\log x)$.

(ii) $\cos(\log x)$.

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