解答例 1

\begin{equation*} \begin{split} \tan^n x &= \tan^2 x\tan^{n-2} x \\ &= \frac{\sin^2x}{\cos^2x}\tan^{n-2}x \\ &= \frac{1-\cos^2x}{\cos^2x}\tan^{n-2}x \\ &= \biggl(\frac{1}{\cos^2 x}-1 \biggr)\tan^{n-2}x \end{split} \end{equation*} であるから, $$ I_n = \int\tan^{n-2}x\cdot\frac{1}{\cos^2x}\,dx - I_{n-2}. $$ $t=\tan x$とおくと, $\displaystyle dt = \frac{1}{\cos^2x}dx$. よって, \begin{equation*} \begin{split} \int\tan^{n-2}x\cdot\frac{1}{\cos^2x}\,dx &= \int t^{n-2}\,dt = \frac{t^{n-1}}{n-1}+C \\ &= \frac{\tan^{n-1}x}{n-1}+C. \end{split} \end{equation*} ただし, $C$ は積分定数. ゆえに $$ I_n = \frac{\tan^{n-1}x}{n-1}-I_{n-2}. $$

最終更新日：2011年11月02日