負でない整数 $m$, $n$ に対して, $$ I_{m,n} = \int \sin^m x\cdot\cos^n x\,dx $$ とおく. ただし, $\sin^0x=\cos^0x=1$ である.
(i) $n\geq 2$ のとき, 次の等式を示せ.
(a) $\displaystyle I_{m,n}=\frac{\sin^{m+1} x\cdot\cos^{n-1} x}{m+1} +\frac{n-1}{m+1}I_{m+2,n-2}$.
(b) $I_{m+2,n-2} = I_{m,n-2} - I_{m,n}$.
(c) $\displaystyle I_{m,n}=\frac{\sin^{m+1} x\cdot\cos^{n-1} x}{m+n} +\frac{n-1}{m+n}I_{m,n-2}$.
(ii) $m\geq 2$ のとき, 次の等式を示せ.
(a) $\displaystyle I_{m,n}=-\frac{\sin^{m-1} x\cdot\cos^{n+1} x}{n+1} +\frac{m-1}{n+1}I_{m-2,n+2}$.
(b) $I_{m-2,n+2} = I_{m-2,n} - I_{m,n}$.
(c) $\displaystyle I_{m,n}=-\frac{\sin^{m-1} x\cdot\cos^{n+1} x}{m+n} +\frac{m-1}{m+n}I_{m-2,n}$.
解答例 1
(i) (a) \begin{equation*} \begin{split} I_{m,n} &= \int(\sin^mx\cdot\cos x)\cdot\cos^{n-1}x\,dx \\ &= \int\biggl(\frac{\sin^{m+1}x}{m+1}\biggr)'\cdot\cos^{n-1}x\,dx \\ &= \frac{\sin^{m+1}x\cdot\cos^{n-1}x}{m+1} -\int\frac{\sin^{m+1}x}{m+1}\cdot(\cos^{n-1}x)'\,dx \\ &= \frac{\sin^{m+1}x\cdot\cos^{n-1}x}{m+1} -\int\frac{\sin^{m+1}x}{m+1}\cdot(n-1)\cdot\cos^{n-2}x\cdot(-\sin x)\,dx \\ &= \frac{\sin^{m+1}x\cdot\cos^{n-1}x}{m+1}+\frac{n-1}{m+1}I_{m+2,n-2}. \end{split} \end{equation*}
(b) \begin{equation*} \begin{split} I_{m+2,n-2} &= \int\sin^mx\cdot\sin^2x\cdot\cos^{n-2}x\,dx \\ &= \int\sin^mx\cdot(1-\cos^2x)\cdot\cos^{n-2}x\,dx \\ &= I_{m,n-2}-I_{m,n}. \end{split} \end{equation*}
(c) (i)-(a), (i)-(b) より, $$ I_{m,n} = \frac{\sin^{m+1}x\cdot\cos^{n-1}x}{m+1} + \frac{n-1}{m+1}(I_{m,n-2}-I_{m,n}). $$ 両辺に $m+1$ を掛けると, $$ (m+1)I_{m,n} = \sin^{m+1}x\cdot\cos^{n-1}x + (n-1)(I_{m,n-2}-I_{m,n}). $$ よって, $$ (m+n)I_{m,n} = \sin^{m+1}x\cdot\cos^{n-1}x + (n-1)I_{m,n-2}. $$ $m\geq 0$, $n\geq 2$ より $m+n\neq 0$ であるから, 両辺を $m+n$ で割ることにより, 求める式が得られる.
(ii) (a) \begin{equation*} \begin{split} I_{m,n} &= \int\sin^{m-1}x\cdot(\cos^nx\cdot\sin x)\,dx \\ &= \int\sin^{m-1}x\cdot\biggl(-\frac{\cos^{n+1}x}{n+1}\biggr)'\,dx \\ &= -\frac{\sin^{m-1}x\cdot\cos^{n+1}x}{n+1} -\int(\sin^{m-1}x)'\biggl(-\frac{\cos^{n+1}x}{n+1}\biggr)\,dx \\ &= -\frac{\sin^{m-1}x\cdot\cos^{n+1}x}{n+1} +\int(m-1)\sin^{m-2}x\cdot\cos x\frac{\cos^{n+1}x}{n+1}\,dx \\ &= -\frac{\sin^{m-1}x\cdot\cos^{n+1}x}{n+1}+\frac{m-1}{n+1}I_{m-2,n+2}. \end{split} \end{equation*}
(b) \begin{equation*} \begin{split} I_{m-2,n+2} &= \int\sin^{m-2}x\cdot\cos^2x\cdot\cos^nx\,dx \\ &= \int\sin^{m-2}x\cdot(1-\sin^2x)\cdot\cos^nx\,dx \\ &= I_{m-2,n}-I_{m,n}. \end{split} \end{equation*}
(c) (ii)-(a), (ii)-(b) より, $$ I_{m,n} = \frac{\sin^{m-1}x\cdot\cos^{n+1}x}{n+1} + \frac{m-1}{n+1}(I_{m-2,n}-I_{m,n}). $$ 両辺に $n+1$ を掛けると, $$ (n+1)I_{m,n} = -\sin^{m-1}x\cdot\cos^{n+1}x + (m-1)(I_{m-2,n}-I_{m,n}). $$ よって, $$ (m+n)I_{m,n} = -\sin^{m-1}x\cdot\cos^{n+1}x + (n-1)I_{m-2,n}. $$ $m\geq 2$, $n\geq 0$ より $m+n\neq 0$ であるから, 両辺を $m+n$ で割ることにより, 求める式が得られる.
最終更新日：2011年11月02日