解答例 1

$\displaystyle I=\int e^x\sin x\,dx$, $\displaystyle J=\int e^x\cos x\,dx$ とおく. \begin{equation*} \begin{split} I &= \int (e^x)'\sin x\, dx \\ &= e^x\sin x - \int e^x\cos x\, dx \\ &= e^x\sin x - J, \\ J &= \int (e^x)'\cos x\, dx \\ &= e^x\cos x - \int e^x(-\sin x)\, dx \\ &= e^x\cos x + I. \end{split} \end{equation*} 上の $2$ つの式から \begin{equation*} \begin{split} I&=e^x\sin x - e^x\cos x - I, \\ J&=e^x\cos x + e^x\sin x - J. \end{split} \end{equation*} ゆえに, \begin{equation*} \begin{split} I &= \frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x) + C, \\ J &= \frac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x) + C'. \end{split} \end{equation*} ただし, $C$, $C'$ は積分定数.

最終更新日：2011年11月02日