[q201109031300]  実数値関数 $f(x)$ は閉区間 $[a, b]$ (ただし, $a<b$ とする) 上で連続で, $f(x)\geq 0$ であり, また恒等的に $0$ でないとする. このとき, $$ \int_a^bf(x)\,dx>0 $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201109031400]  実数値関数 $f(x)$ が 閉区間 $[a, b]$ (ただし, $a<b$ とする) で連続であるとき, ある実数 $c\in (a, b)$ が存在して, $$ \int_a^bf(x)\,dx = (b-a)f(c) $$ が成り立つことを証明せよ.

Keywords: 平均値の定理

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[q201109031500]  実数値関数 $f(x)$, $g(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で, $g(x)\geq 0$ であるとする. このとき, ある実数 $c\in [a, b]$ が存在して, \begin{equation} \int_a^bf(x)g(x)\,dx = f(c)\int_a^bg(x)\,dx \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

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[q201106260100]  $f(x)$ は閉区間 $[a,b]$ 上の連続関数であるとし, 逆関数 $g(x)$ をもつとする. このとき $$ \int_{f(a)}^{f(b)}g(x)\,dx = bf(b)-af(a)-\int_a^bf(x)\,dx $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201106252330]  定積分 $\displaystyle \int_{-1}^2\lvert x\rvert\,dx$ の値を計算せよ.

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