解答例 1

$\displaystyle I=\int e^{ax}\sin bx\,dx$, $\displaystyle J=\int e^{ax}\cos bx\,dx$ とおく. \begin{equation*} \begin{split} I &= \int \biggl(\frac{1}{a}e^{ax}\biggr)'\sin bx\, dx \\ &= \frac{1}{a}e^{ax}\sin bx - \int \frac{1}{a}e^{ax}\cdot b\cos bx\, dx \\ &= \frac{1}{a}e^{ax}\sin bx - \frac{b}{a}J, \\ J &= \biggl(\frac{1}{a}e^{ax}\biggr)'\cos bx\, dx \\ &= \frac{1}{a}e^{ax}\cos bx - \int \frac{1}{a}e^{ax}\cdot b(-\sin bx)\, dx \\ &= \frac{1}{a}e^{ax}\cos bx + \frac{b}{a}I. \end{split} \end{equation*} 上の $2$ つの式から \begin{equation*} \begin{split} I&=\frac{1}{a}e^{ax}\sin bx - \frac{b}{a^2}e^{ax}\cos bx - \frac{b}{a^2}I, \\ J&=\frac{1}{a}e^{ax}\cos bx + \frac{b}{a^2}e^{ax}\sin bx - \frac{b}{a^2}J. \end{split} \end{equation*} よって, \begin{equation*} \begin{split} (a^2+b^2)I &= e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx), \\ (a^2+b^2)J &= e^{ax}(b\sin bx+a\cos bx). \end{split} \end{equation*} $a\neq 0$ より $a^2+b^2\neq 0$ だから, \begin{equation*} \begin{split} I &= \frac{e^x}{a^2+b^2}(a\sin bx-b\cos bx) + C, \\ J &= \frac{e^x}{a^2+b^2}(b\sin bx+a\cos bx) + C'. \end{split} \end{equation*} ただし, $C$, $C'$ は積分定数.

最終更新日：2011年11月02日