解答例 1

$\displaystyle I=\int \sin(\log x)\,dx$, $\displaystyle J=\int \cos(\log x)\,dx$とおく. \begin{equation*} \begin{split} I &= \int 1\cdot \sin x\, dx = \int x'\sin x\, dx \\ &= x\sin(\log x) - \int x\cos(\log x)\frac{1}{x}\, dx \\ &= x\sin(\log x) - J, \\ J &= \int 1\cdot \cos x\, dx = \int x'\cos x\, dx \\ &= x\cos(\log x) - \int x(-\sin(\log x))\frac{1}{x}\, dx \\ &= x\cos(\log x) + I. \end{split} \end{equation*} 上の $2$ つの式から \begin{equation*} \begin{split} I&=x\sin(\log x) - x\cos(\log x) - I, \\ J&=x\cos(\log x) + x\sin(\log x) - J. \end{split} \end{equation*} ゆえに, \begin{equation*} \begin{split} I &= x\bigl(\sin(\log x)-\cos(\log x)\bigr) + C, \\ J &= x\bigl(\sin(\log x)+\cos(\log x)\bigr) + C'. \end{split} \end{equation*} ただし, $C$, $C'$ は積分定数.

最終更新日：2011年11月02日