[q201106282100]  $f(x)$ を区間 $I$ で微分可能な実数値関数とする. また, $A$ を実数とし, 任意の $x\in I$ に対して $f'(x) = A$ が成り立つとする. このとき, $f(x)$ は $I$ において定数であるか, または $x$ に関する $1$ 次多項式で表されることを証明せよ.

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[q201108241200]  $f(x)$ を $[a, \infty)$ で連続, $(a, \infty)$ で微分可能な関数とし, $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=f(a)$ が成り立つとする. このとき, ある $c\in (a, \infty)$ が存在して $f'(c)=0$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201108241500]  $f(x)$ を区間 $I$ で微分可能な関数とし, $K$ を実数とする. このとき, 次の2つの条件は同値であることを証明せよ.

(i) 任意の $x\in I$ に対して, $\lvert f'(x)\rvert \leq K$.

(ii) 任意の $x$, $y\in I$ に対して, $\lvert f(x)-f(y)\rvert \leq K\lvert x - y\rvert$.

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[q201106282115]  $f(x)$ を $\mathbb{R}$ 上の実数値関数とし, $\mathbb{R}$ 全体で微分可能とする. また, $c$ を実数とし, 任意の $x\in\mathbb{R}$ に対して \begin{equation} \lvert f'(x)\rvert \leq c<1 \tag{$*$} \end{equation} を満たすとする. このとき, $\mathbb{R}$ 上の関数 $g(x)=x+f(x)$ は全単射であることを証明せよ.

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[q201106221300]  $a$, $b$, $c$ を実数とし, $a<c<b$ であるとする. $f(x)$ を実数値関数とし, $(a, b)$ で連続, $(a, c)\cup(c, b)$ で微分可能であるとする. このとき, $\displaystyle A=\lim_{x\to c}f'(x)$ が存在するならば, $f(x)$ は $x=c$ で微分可能であり, $f'(c)=A$ が成り立つことを証明せよ.

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