解答例 1

任意の2点 $x_1$, $x_2\in I$ と $t\in (0, 1)$ に対して \begin{equation} f\bigl( tx_1 + (1-t)x_2 \bigr) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2) \tag{1} \end{equation} が成り立つとき, $f(x)$ は $I$ で凸関数である, あるいは $I$ で下に凸であるという. さらに, $x_1\neq x_2$ のときには (1) において $\leq$ の代わりに $<$ が成り立つとき, $f(x)$ は $I$ で狭義凸関数であるという.

不等式の向きが逆のとき, それぞれ凹関数, 上に凸, 狭義凹関数という. つまり, 任意の2点 $x_1$, $x_2\in I$ と $t\in (0, 1)$ に対して \begin{equation} f\bigl( tx_1 + (1-t)x_2 \bigr) \geq tf(x_1) + (1-t)f(x_2) \tag{2} \end{equation} が成り立つとき, $f(x)$ は $I$ で凹関数である, あるいは $I$ で上に凸であるという. さらに, $x_1\neq x_2$ のときには (2) において $\geq$ の代わりに $>$ が成り立つとき, $f(x)$ は $I$ で狭義凹関数であるという.

最終更新日：2011年11月02日