解答例 1

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ を微分すると, \begin{align*} f'(x) &= 3ax^2+2bx+c, \\ f''(x) &= 6ax+2b = 6a\left( x+\frac{b}{3a} \right). \end{align*} $f''(x)=0$ を解くと, $x=-b/(3a)$ である.

$p=-b/(3a)$ とおく. $x>p$ のときと $x<p$ のときとで $f''(x)$ の符号が変わるから, $(p, f(p))$ は $y=f(x)$ の変曲点である.

$y=f(x)$ 上の任意の点 $(s, f(s))$ に対して, $(p, f(p))$ に関して対称な点を $(u, v)$ とすると, $$ \frac{s+u}{2} = p,\quad \frac{f(s)+v}{2} = f(p) $$ であるから, $$ u = 2p - s,\quad v = 2f(p) - f(s). $$ よって, \begin{align*} f(u) - v &= f(2p-s) - (2f(p)-f(s)) \\ &= a(2p-s)^3 + b(2p-s)^2 + c(2p-s) + d \\ &\qquad -2(ap^3+bp^2+cp+d) + (as^3+bs^2+cs+d) \\ &= 6ap^3-12ap^2s+6aps^2+2bp^2-4bps+2bs^2 \\ &= 2(3ap+b)(p-s)^2. \end{align*} $3ap+b=0$ であるから, $f(u) - v = 0$. ゆえに, $v=f(u)$ となり, $(u, v)$ は曲線 $y=f(x)$ 上にある. したがって, 曲線 $y=f(x)$ は変曲点 $(p, f(p))$ に関して対称である.

解答例 2

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ を微分すると, \begin{align*} f'(x) &= 3ax^2+2bx+c, \\ f''(x) &= 6ax+2b = 6a\left( x+\frac{b}{3a} \right). \end{align*} $f''(x)=0$ を解くと, $x=-b/(3a)$ である.

$p=-b/(3a)$ とおく. $x>p$ のときと $x<p$ のときとで $f''(x)$ の符号が変わるから, $(p, f(p))$ は $y=f(x)$ の変曲点である.

$(p, f(p))$ が原点に来るように $y=f(x)$ を平行移動すると, $$ y+f(p) = a(x+p)^3+b(x+p)^2+c(x+p) + d. $$ すなわち, $$ y = a(x+p)^3+b(x+p)^2+c(x+p) + d - (ap^2+bp^2+cp+d). $$ 右辺を整理すると, $$ y = ax^3 + (3ap+b)x^2 + (3ap^2+2bp+c)x. $$ $3ap+b=0$ であるから, \begin{equation} y = ax^3 + (bp+c)x. \tag{1} \end{equation} $g(x)=ax^3+(bp+c)x$ とおくと, $g(x)$ は奇関数である. すなわち, $g(-x)=-g(x)$ が成り立つ. ゆえに, 曲線 (1) のグラフは原点に関して対称である. したがって, もとの曲線 $y=f(x)$ のグラフは変曲点 $(p, f(p))$ に関して対称である.

最終更新日：2011年11月02日