[q201108231400]  $n\geq 2$ を整数, $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_n$ を実数とし, $$ p_1+p_2+\cdots+p_n = 1,\quad p_1>0,\quad p_2>0,\quad \ldots,\quad p_n>0 $$ を満たすとすると, $$ H(p_1, p_2, \ldots, p_n) = -\sum_{k=1}^np_k\log p_k $$ は $p_1=p_2=\cdots=p_n=1/n$ のとき最大値 $\log n$ をとる. このことを証明せよ.

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[q201107011145]  $p$, $q$ を正の実数とし, \begin{equation} \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \tag{$*$} \end{equation} を満たすとする. このとき, 任意の実数 $a\geq 0$, $b\geq 0$ に対して, 不等式 \begin{equation} ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} \tag{$*$$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

Keywords: Hölder の不等式, ヘルダーの不等式

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[q201107031900]  $(a_i)$, $(b_i)$ を実数列とする. $p$, $q$ を正の実数とし, \begin{equation} \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \tag{$*$} \end{equation} を満たすとする. このとき, 任意の整数 $n\geq 1$ に対して, 不等式 \begin{equation} \sum_{i=1}^n\lvert a_ib_i\rvert \leq \left(\sum_{i=1}^n\lvert a_i\rvert^p\right)^{\frac{1}{p}} \left(\sum_{i=1}^n\lvert b_i\rvert^q\right)^{\frac{1}{q}} \tag{$*$$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

Keywords: Hölder の不等式, ヘルダーの不等式

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[q201107032000]  $(a_i)$, $(b_i)$ を実数列とする. このとき, 任意の実数 $p\geq 1$ に対して, 不等式 \begin{equation} \left(\sum_{i=1}^{n}\lvert a_i+b_i \rvert^p\right)^{\frac{1}{p}} \leq \left(\sum_{i=1}^{n}\lvert a_i\rvert^p\right)^{\frac{1}{p}} + \left(\sum_{i=1}^{n}\lvert b_i\rvert^p\right)^{\frac{1}{p}} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

Keywords: Minkowski の不等式, ミンコフスキーの不等式

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[q201107121315]  $n$ を正の整数とするとき, $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{e^x}=0$ を証明せよ.

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