解答例 1

$f_n(x)=e^x-x^n/n!$ とおく. 各整数 $n\geq 1$ について, 区間 $[0, \infty)$ で $f_n(x)>0$ となることを, $n$ に関する数学的帰納法により証明する.

$n=1$ のとき, $$ f_1(x) = e^x-x,\quad f_1(0) = 1. $$ また, $[0, \infty)$ において, $$ f_1'(x) = e^x-1\geq 0. $$ ゆえに, $[0, \infty)$ で $f_1(x)>0$ である.

$n=k$ のとき, $[0, \infty)$ で $f_k(x)>0$ であると仮定する. $$ f_{k+1}(x) = e^x - \frac{x^{k+1}}{(k+1)!},\quad f_{k+1}(0)=1. $$ 帰納法の仮定より, $[0, \infty)$ において, $$ f'_{k+1}(x) = e^x - \frac{x^k}{k!} = f_k(x) > 0. $$ ゆえに, $[0, \infty)$ で $f_{k+1}(x)>0$ である.

以上より, すべての $n$ について, $[0, \infty)$ で $f_n(x)>0$ となることが示された.

最終更新日：2011年11月02日