[q201106220930]  $\mathbb{R}$ 上の関数 $f(x)$ を $$ f(x) = \begin{cases} x, & \mbox{$x$ が有理数のとき} \\ 0, & \mbox{$x$ が無理数のとき} \end{cases} $$ によって定める. このとき, $f(x)$ は $x=0$ でのみ連続であることを証明せよ.

---

[q201106221030]  $\mathbb{R}$ 上の関数 $f(x)$ を $$ f(x) = \begin{cases} x, & \mbox{$x$ が有理数のとき} \\ 1-x, & \mbox{$x$ が無理数のとき} \end{cases} $$ によって定める. このとき, $f(x)$ は $x=1/2$ でのみ連続であることを証明せよ.

---

[q201106262230]  $I$ を区間, $f(x)$ を $I$ で定義された実数値関数, $x_0\in I$ とする. $f(x)$ は $x=x_0$ で連続で, $f(x_0)>0$ であるとする. このとき, $x_0$ のある近傍の上で $f(x)>0$ となる. すなわち, ある実数 $\delta>0$ が存在して, 任意の $x\in(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap I$ に対して, $f(x)>0$ が成り立つ. このことを証明せよ.

---

[q201106262245]  閉区間上の連続関数は最大値と最小値をもつことを証明せよ.

---

[q201106260130]  $f(x)$ を 閉区間 $[a, b]$ 上の連続関数とし, 任意の $x\in [a, b]$ に対して \begin{equation} a\leq f(x)\leq b \tag{$*$} \end{equation} が成り立つとする. このとき, ある $c\in [a, b]$ が存在して $f(c)=c$ となることを証明せよ.

Keywords: 不動点定理

---