解答例 1

$x=1/2$ では連続であること： 実数 $\varepsilon>0$ を任意にとる. $\delta=\varepsilon$ とおくと, $\displaystyle 0<\left\lvert x - \frac{1}{2} \right\rvert < \delta$ を満たす任意の実数 $x$ に対して, $$ \left\lvert f(x) - \frac{1}{2} \right\rvert = \left\lvert x - \frac{1}{2} \right\rvert < \varepsilon. $$ ゆえに, $$ \lim_{x\to 1/2}f(x) = \frac{1}{2} = f\left(\frac{1}{2}\right). $$ すなわち, $f(x)$ は $x=1/2$ において連続である.

$x=1/2$ 以外では連続でないこと： $a$ を $1/2$ 以外の実数とする. $a$ に収束する有理数列 $(x_n)$ および無理数列 $(y_n)$ は構成できる. そのとき, 全ての番号 $n$ に対して $f(x_n)=x_n$, $f(y_n)=1-y_n$ であるから, $$ f(x_n)\to a,\quad f(y_n)\to 1-a\quad (n\to\infty) $$ が成り立つ. $a\neq 1-a$ であるから, $x\to a$ のとき $f(x)$ は極限をもたない. したがって, $f(x)$ は $x=a$ において連続ではない.

最終更新日：2011年11月02日