$I$ を区間, $f(x)$ を $I$ で定義された実数値関数, $x_0\in I$ とする. $f(x)$ は $x=x_0$ で連続で, $f(x_0)>0$ であるとする. このとき, $x_0$ のある近傍の上で $f(x)>0$ となる. すなわち, ある実数 $\delta>0$ が存在して, 任意の $x\in(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap I$ に対して, $f(x)>0$ が成り立つ. このことを証明せよ.
解答例 1
仮定より $f(x_0)/2>0$ であり, $f(x)$ は $x_0$ で連続だから, ある実数 $\delta>0$ が存在して, 任意の $x\in I$ に対して, $$ \lvert x-x_0\rvert < \delta \Longrightarrow \lvert f(x)-f(x_0)\rvert < \frac{f(x_0)}{2} $$ が成り立つ. 言い換えると, $$ x_0-\delta<x<x_0+\delta \Longrightarrow \frac{f(x_0)}{2}<f(x)<\frac{3f(x_0)}{2}. $$ ゆえに, $$ x\in(x_0-\delta, x_0+\delta) \Longrightarrow 0<\frac{f(x_0)}{2}<f(x) $$ となる.
最終更新日：2011年11月02日