解答例 1

最大値の場合のみ証明する. 最小値についても同様である.

$f(x)$ を閉区間 $I$ 上の連続関数とする.

まず, $f(I)$ が上に有界であることを示す. もし仮に $f(I)$ が上に有界でないとすると, $I$ 内の数列 $(a_n)$ で \begin{equation} f(a_n)\to\infty \quad (n\to\infty) \tag{1} \end{equation} となるものが存在する. $(a_n)$ は有界な数列だから, 収束する部分列 $(a_{n(k)})$ が存在する (Bolzano-Weierstrassの定理). その極限値を $c$ とする. $I$ は閉区間であり, 各 $n$ について $a_n\in I$ なので, $c\in I$ である. $f$ の連続性より, $$ f(a_{n(k)}) \to f(c)\quad (k\to\infty). $$ これは (1) に矛盾する.

したがって, $f(I)$ は上に有界である. よって, 上限 $\sup f(I)$ が存在する (実数の連続性). $M=\sup f(I)$ とおくと, 上限の性質から, $f(I)$ 内の点列 $(y_n)$ で $$ y_n \to M\quad (n\to\infty) $$ なるものが存在する. $I$ 内の数列 $(x_n)$ を $y_n=f(x_n)$ によって定める. $(x_n)$ から収束する部分列 $(x_{n(k)})$ を選び, その極限値を $x_0$ とすれば, $f$ の連続性により, $$ f(x_0) = f\left( \lim_{k\to\infty} x_{n(k)} \right) = \lim_{k\to\infty}y_{n(k)} = M. $$ ゆえに, $M\in f(I)$ であり, $M$ は $f(I)$ の最大値である.

最終更新日：2011年11月02日