解答例 1

$x=0$ では連続であること： 実数 $\varepsilon>0$ を任意にとる. $\delta=\varepsilon$ とおくと, $0<\lvert x\rvert < \delta$ を満たす任意の実数 $x$ に対して, $$ \lvert f(x)\rvert \leq \lvert x\rvert < \varepsilon. $$ ゆえに, $$ \lim_{x\to 0}f(x) = 0 = f(0). $$ すなわち, $f(x)$ は $x=0$ において連続である.

$x=0$ 以外では連続でないこと： $a$ を $0$ でない実数とする. $a$ に収束する有理数列 $(x_n)$ および無理数列 $(y_n)$ は構成できる. そのとき, 全ての番号 $n$ に対して $f(x_n)=x_n$, $f(y_n)=0$ であるから, $$ f(x_n)\to a,\quad f(y_n)\to 0\quad (n\to\infty) $$ が成り立つ. ゆえに, $x\to a$ のとき $f(x)$ は極限をもたない. したがって, $f(x)$ は $x=a$ において連続ではない.

最終更新日：2011年11月02日