[q201108192000]  $\alpha$ を無理数とするとき, $\alpha$ に収束する有理数列が存在することを証明せよ.

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[q201106211700]  実数列 $(a_n)$, $(b_n)$ が収束するとき, $(a_nb_n)$ も収束して, $$ \lim_{n\to\infty}a_nb_n = \lim_{n\to\infty} a_n \cdot \lim_{n\to\infty} b_n $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201106211745]  実数列 $(b_n)$ が収束するとき, $(1/b_n)$ も収束して, $$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n} = \frac{1}{\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n} $$ が成り立つことを証明せよ. ただし, $b_n\neq 0$ $(n=1, 2, 3, \ldots)$ かつ $\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n\neq 0$ とする.

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[q201107032330]  $(a_n)$, $(b_n)$ を収束する実数列とし, $$ a_n\leq b_n\quad (n=1, 2, \ldots) $$ とする. このとき, $$ \lim_{n\to\infty}a_n\leq \lim_{n\to\infty}b_n $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201107121430]  $a$ を実数とするとき, $$ \lim_{x\to\infty} \frac{\lfloor ax\rfloor}{x} = a $$ を証明せよ. ただし, 実数 $x$ に対し, $\lfloor x\rfloor$ は $x$ を超えない最大の整数とする.

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