[q201106262200]  $\alpha$ を負でない実数または $+\infty$ とし, $(a_n)$ を正の実数からなる数列とする. このとき, $$ \lim_{n\to\infty}a_n = \alpha \Longrightarrow \lim_{n\to\infty}(a_1a_2\cdots a_n)^{\frac{1}{n}}=\alpha $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201107301800]  $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$ を証明せよ.

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[q201107301815]  $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=+\infty$ を証明せよ.

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[q201107031145]  $a$, $b$ を実数とし, $a<b$ とする. $I=(a, b)$ を開区間とする. このとき, $b=\sup I$, $a=\inf I$ であることを証明せよ.

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[q201109210900]  $A$ を $\mathbb{R}$ の有界かつ空でない部分集合, $c$ を実数とし, $$ cA = \{ cx\mid x\in A \} $$ とおく. $c\geq 0$ のとき, \begin{equation} \begin{split} \sup{cA} &= c\cdot\sup{A}, \\ \inf{cA} &= c\cdot\inf{A} \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つ. また, $c\leq 0$ のとき, \begin{equation} \begin{split} \sup{cA} &= c\cdot\inf{A}, \\ \inf{cA} &= c\cdot\sup{A} \end{split} \tag{$*$$*$} \end{equation} が成り立つ. このことを証明せよ.

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