[q201110021500]  $p$ を素数とし, $n$ を $2$ 以上の整数とする. $1\leq r\leq n-1$ であるすべての整数 $r$ に対して二項係数 $\displaystyle\binom{n}{r}$ が $p$ で割れるには, $n$ が $p$ の冪であることが必要十分であることを証明せよ.

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[q201110021600]  $n$ を正の整数とする. $n+1$ 個の二項係数 $\displaystyle\binom{n}{r}$ ($0\leq r\leq n$) のうち奇数であるものの個数は $2$ の冪であることを証明せよ.

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[q201110021700]  $p$ を素数, $r$ を整数とし, $1\leq r\leq p-1$ であるとする. このとき, $$ \binom{p-1}{r}\equiv (-1)^{r}\pmod{p} $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201110021800]  $p$ を素数, $a$, $b$ を整数とし, $1\leq a\leq p-1$ とする. このとき, $1$ 次合同式 $$ ax \equiv b \pmod{p} $$ の解は $$ x\equiv (-1)^{a-1}\frac{1}{p}\binom{p}{a}b\pmod{p} $$ によって与えられることを証明せよ.

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[q201110170500]  $p$ を奇素数とする. すべての平方数は, それぞれ $p$ を法として \begin{equation} \begin{array}{lllll} 0^{2}, & 1^{2}, & 2^{2}, & \ldots, & \displaystyle\left(\frac{p-1}{2}\right)^{2} \end{array} \tag{$*$} \end{equation} のいずれかに合同であり, ($*$) は $p$ を法としてどの2つも互いに合同ではないことを証明せよ.

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