$\alpha$ を負でない実数または $+\infty$ とし, $(a_n)$ を正の実数からなる数列とする. このとき, $$ \lim_{n\to\infty}a_n = \alpha \Longrightarrow \lim_{n\to\infty}(a_1a_2\cdots a_n)^{\frac{1}{n}}=\alpha $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$(a_n)$ が $\alpha$ に収束すると仮定する.
$b_n = (a_1a_2\cdots a_n)^{\frac{1}{n}}$ ($n=1$, $2$, $\ldots$) とおくと, \begin{align*} \lim_{n\to\infty} \log b_n &= \lim_{n\to\infty}\log\,(a_1a_2\cdots a_n)^{\frac{1}{n}} \\ &= \lim_{n\to\infty}\frac{\log a_1+\log a_2+\cdots+\log a_n}{n} \\ &= \lim_{n\to\infty}\log a_n = \begin{cases} +\infty & \mbox{$\alpha=+\infty$ のとき} \\ \log\alpha, & \mbox{$\alpha>0$ のとき} \\ -\infty, & \mbox{$\alpha=0$ のとき} \end{cases} \end{align*} であるから, \begin{align*} \lim_{n\to\infty} b_n &= \lim_{n\to\infty} e^{\log b_n} = \begin{cases} +\infty, & \mbox{$\alpha=+\infty$ のとき} \\ e^{\log\alpha}, & \mbox{$\alpha>0$ のとき} \\ 0, & \mbox{$\alpha=0$ のとき} \end{cases} \\ &= \alpha \end{align*} となる.
最終更新日：2011年11月02日