[q201108240900]  $(x_n)$ を実数列とする. ある実数 $k$ が存在して, $0\leq k<1$ かつ $$ \lvert x_{n+2}-x_{n+1}\rvert \leq k\lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert \quad (n=0, 1, 2, \ldots) $$ が成り立つとする. このとき, $(x_n)$ は収束することを証明せよ.

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[q201106272130]  数列 $(a_n)$ を $$ a_n=\biggl(1+\frac{1}{n}\biggr)^n\quad (n=1, 2, \ldots) $$ によって定める. このとき, $(a_n)$ は収束することを証明せよ.

Keywords: 自然対数の底, Napier 数, ネイピア数

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[q201106220700]  $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left( 1-\frac{1}{n} \right)^{-n} = e$ を証明せよ.

Keywords: 自然対数の底, Napier 数, ネイピア数

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[q201106262130]  $\alpha$ を実数, $(a_n)$ を実数列とする. このとき, $$ \lim_{n\to\infty}a_n = \alpha \Longrightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=\alpha $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201106262145]  $(a_n)$ を実数列とする. このとき, $$ \lim_{n\to\infty}a_n = +\infty \Longrightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=+\infty $$ が成り立つことを証明せよ.

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