$A$ を $\mathbb{R}$ の有界かつ空でない部分集合, $c$ を実数とし, $$ cA = \{ cx\mid x\in A \} $$ とおく. $c\geq 0$ のとき, \begin{equation} \begin{split} \sup{cA} &= c\cdot\sup{A}, \\ \inf{cA} &= c\cdot\inf{A} \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つ. また, $c\leq 0$ のとき, \begin{equation} \begin{split} \sup{cA} &= c\cdot\inf{A}, \\ \inf{cA} &= c\cdot\sup{A} \end{split} \tag{$*$$*$} \end{equation} が成り立つ. このことを証明せよ.
解答例 1
$c=0$ のとき, $cA=\{0\}$ となるから, ($*$) および ($*$$*$) は明らかに成り立つ.
$c>0$ のとき, $x\leq\sup{A}$ ($\forall x\in A$) より, $$ cx\leq c\cdot\sup A\quad (\forall x\in A). $$ よって, $c\cdot\sup A$ は $cA$ の上界である. ゆえに, \begin{equation} \sup{cA}\leq c\cdot\sup A. \tag{1} \end{equation} 逆に, $cx\leq\sup{cA}$ ($\forall x\in A$) より, $$ x = \frac{cx}{c}\leq\frac{\sup{cA}}{c}\quad (\forall x\in A). $$ よって, $(\sup{cA})/c$ は $A$ の上界である. ゆえに, $$ \sup A\leq\frac{\sup{cA}}{c}. $$ したがって, \begin{equation} c\cdot\sup{A}\leq\sup{cA}. \tag{2} \end{equation} (1), (2) より, ($*$) の1行目の式が成り立つ. ($*$) の2行目の式も同様にして示せる.
$c<0$ のとき, $\inf{A}\leq x$ ($\forall x\in A$) より, $$ cx\leq c\cdot\inf A\quad (\forall x\in A). $$ よって, $c\cdot\inf A$ は $cA$ の上界である. ゆえに, \begin{equation} \sup{cA}\leq c\cdot\inf A. \tag{3} \end{equation} 逆に, $cx\leq\sup{cA}$ ($\forall x\in A$) より, $$ \frac{\sup{cA}}{c} \leq \frac{cx}{c} = x\quad (\forall x\in A). $$ よって, $(\sup{cA})/c$ は $A$ の下界である. ゆえに, $$ \frac{\sup{cA}}{c}\leq\inf A. $$ したがって, \begin{equation} c\cdot\inf{A}\leq\sup{cA}. \tag{4} \end{equation} (3), (4) より, ($*$$*$) の1行目の式が成り立つ. ($*$$*$) の2行目の式も同様にして示せる.
最終更新日：2011年11月02日