[q201109211000]  $A$, $B$ を $\mathbb{R}$ の有界かつ空でない部分集合とし, $$ A+B = \{ x+y \mid x\in A,\,y\in B \} $$ とおく. このとき, \begin{align*} \sup{(A+B)} &= \sup{A} + \sup{B}, \\ \inf{(A+B)} &= \inf{A} + \inf{B} \end{align*} が成り立つことを証明せよ.

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[q201109211100]  $A$, $B$ を $\mathbb{R}$ の有界かつ空でない部分集合とし, $$ A-B = \{ x-y \mid x\in A,\,y\in B \} $$ とおく. このとき, \begin{align*} \sup(A-B) &= \sup A - \inf B, \\ \inf(A-B) &= \inf A - \sup B \end{align*} が成り立つことを証明せよ.

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[q201109211200]  $A$, $B$ を $\mathbb{R}$ の有界かつ空でない部分集合とする. このとき, \begin{align*} \sup(A\cup B) &= \max\{\sup A,\,\sup B\}, \\ \inf(A\cup B) &= \min\{\inf A,\,\inf B\} \end{align*} が成り立つことを証明せよ.

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[q201109211300]  $A$, $B$ を $\mathbb{R}$ の有界かつ空でない部分集合する. 任意の $x\in A$, $y\in B$ に対して, $x\geq 0$, $y\geq 0$ が成り立つとする. また, $$ AB = \{ xy \mid x\in A,\,y\in B \} $$ とおく. このとき, \begin{align*} \sup{AB} &= \sup{A}\sup{B}, \\ \inf{AB} &= \inf{A}\inf{B} \end{align*} が成り立つことを証明せよ.

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[q201109220900]  $(a_n)$, $(b_n)$ を有界な実数列とする. このとき, \begin{equation} \begin{split} & \sup{a_n} + \inf{b_n} \leq \sup{(a_n+b_n)} \leq \sup{a_n}+\sup{b_n}, \\ & \sup{a_n} - \sup{b_n} \leq \sup{(a_n-b_n)} \leq \sup{a_n}-\inf{b_n}, \\ & \inf{a_n} + \inf{b_n} \leq \inf{(a_n+b_n)} \leq \sup{a_n}+\inf{b_n}, \\ & \inf{a_n} - \sup{b_n} \leq \inf{(a_n-b_n)} \leq \sup{a_n}-\sup{b_n} \end{split} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

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