解答例 1

任意の $x\in I$ に対して $x\leq b$. よって, $b$ は $I$ の上界である.

いま, $I$ の上界で $b$ より小さいものが存在すると仮定し, それを $b'$ とおく. $m=(b'+b)/2$ とおくと, 任意の $x\in I$ に対して, $$ a<x\leq b'<m<b. $$ よって, $$ b'<m \quad\mbox{かつ}\quad m\in I $$ となり, $b'$ が $I$ の上界であることに矛盾する. したがって, $b$ は $I$ の上界のうちで最小のものである. すなわち, $b=\sup I$.

$a=\inf I$ も同様にして示せる.

最終更新日：2011年11月02日