[q201107301700]  $a>0$ を実数, $k\geq 1$ を整数とする. このとき, $$ \lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n^k} = \begin{cases} \infty, & a > 1 \\ 0, & a \leq 1 \end{cases} $$ を証明せよ.

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[q201107301715]  $a>0$ を実数, $k\geq 1$ を整数とする. このとき, $$ \lim_{n\to\infty}n^ka^n = \begin{cases} \infty, & a \geq 1 \\ 0, & a < 1 \end{cases} $$ を証明せよ.

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[q201107301730]  $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!} = 0$ を証明せよ. ただし, $a$ は実数とする.

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[q201108180800]  $a$ を正の実数とし, 実数列 $(x_n)$ を $$ x_1 > \sqrt{a},\quad x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)\quad (n=1, 2, \ldots) $$ によって定める. このとき, $(x_n)$ は収束し, その極限値は $\sqrt{a}$ になることを証明せよ.

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[q201109062100]  $a$, $b$ を実数とし, $a\geq b>0$ を満たすものとする. 数列 $(a_n)$, $(b_n)$ を \begin{align*} & a_0=a,\quad b_0=b, \\ & a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},\quad b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n} \end{align*} によって定義する. このとき, $(a_n)$, $(b_n)$ はともに収束し, $$ \lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}b_n $$ が成り立つことを証明せよ.

Keywords: 算術幾何平均

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