[q201110280700]  整数論的関数の定義を述べよ.

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[q201110280800]  $\mu(n)$ を Möbius の関数とし, $a$ を正の整数とする. このとき, $$ \sum_{d\mid a}\mu(d) = \begin{cases} 1, & \mbox{$a=1$ のとき} \\ 0, & \mbox{$a>1$ のとき} \end{cases} $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201110280900]  $F(n)$ を整数論的関数とし, $$ G(n) = \sum_{d\mid n}F(d) $$ とおく. このとき, $$ F(n) = \sum_{d\mid n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)G(d) $$ が成り立つことを証明せよ. ただし, $\mu(n)$ は Möbius の関数である.

Keywords: Möbius の反転公式

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[q201110281000]  $F(n)$ を整数論的関数とし, $$ G(n) = \sum_{d\mid n}F(d) $$ とおく. このとき, $G(n)$ が乗法的であるためには, $F(n)$ が乗法的であることが必要十分であることを証明せよ.

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[q201110020900]  $a$, $r$ を正の整数とするとき, $$ a(a+1)(a+2)\cdots (a+r-1) $$ は $r!$ で割り切れることを証明せよ.

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