解答例 1

$a\leq 1$ のとき, $$ \frac{a^n}{n^k} \leq \frac{1}{n^k} \to 0 \quad (n\to\infty). $$ $a>1$ のとき, $a=1+h$ ($h>0$) とおくと, $$ a^n = (1+h)^n = \sum_{j=0}^n\binom{n}{j}h^j > \binom{n}{k+1}h^{k+1}. $$ ゆえに, $$ \frac{a^n}{n^k} > \binom{n}{k+1}\frac{h^{k+1}}{n^k} = \frac{h^{k+1}n}{(k+1)!}\prod_{j=1}^k\left(1-\frac{j}{n}\right) \to\infty\quad (n\to\infty). $$

最終更新日：2011年11月02日